学校では、相手から「ありがとうございました。」と言われた時には、「You’re welcome.」「It’s my pleasure.」 「Don’t mention it.」などで返答するように習いました。その他、「No problem.」「No worries.」「Not at all.」「Anytime.」なども良く見聞きします。個人的には丁寧に言いたい場合には「You’re most welcome.」を使います。
これらは「どういたしまして。」というニュアンスですので、「こちらこそありがとうございます。」と返答したい時の方が日常では多いように感じます。早速、「こちらこそありがとうございます。」の英語表現について調べました。
カジュアルな「こちらこそありがとうございます。」の表現
Thank you, too.
※この場合の返答として「Me too.」と省略するのは間違いです。「Thank me, too」の省略になってしまいます。「Thank you, too.」の省略は「You, too.」が正しい表現となります。
No, thank you.
Same to you.
It’s my pleasure.
フォーマルな場面でも使える「こちらこそありがとうございます。」の表現
Thank you as well.
The pleasure is mine.
I should be thanking you.
I appreciate your help too.
I appreciate your kindness as well.
Thank you always for everything.
I’m the one who should be thanking you.

Pinaさん
カジュアルとフォーマルな言い方は使い分けが必要です。See you next time!